Ações parciais e homologia - BV FAPESP
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Ações parciais e homologia

Texto completo
Autor(es):
Emmanuel Jerez Usuga
Número total de Autores: 1
Tipo de documento: Tese de Doutorado
Imprenta: São Paulo.
Instituição: Universidade de São Paulo (USP). Instituto de Matemática e Estatística (IME/SBI)
Data de defesa:
Membros da banca:
Mikhailo Dokuchaev; Edson Ribeiro Alvares; Marcelo Muniz Silva Alves; Dessislava Hristova Kochloukova; Eduardo do Nascimento Marcos
Orientador: Mikhailo Dokuchaev
Resumo

Estudamos a categoria de ações parciais de grupos, explorando aspectos homológicos dessa categoria, bem como algumas generalizações das ações parciais de grupos. Começamos analisando sua estrutura categórica e sua relação com a categoria dos grupoides. Posteriormente, estudamos a teoria (co)homológica das ações parciais de grupo, motivados por sua conexão com os grupoides e a estrutura simplicial que emerge das ações parciais de grupo. Concluímos nosso estudo examinando a estrutura (co)homológica de duas generalizações das ações parciais de grupo: ações parciais de álgebras de Hopf e ações parciais torcidas de grupo. Inicialmente, consideramos a categoria de ações parciais de grupo, onde o grupo e o conjunto sobre o qual o grupo age podem variar. Desenvolvemos uma teoria de quocientes de ações parciais e provamos que a categoria de ações parciais é tanto (co)completa quanto engloba a categoria dos grupoides como uma subcategoria plena. Em particular, estabelecemos a existência de um par de funtores adjuntos. Para um grupoide, fornecemos uma caracterização de todas as ações parciais que permitem a recuperação do grupoide. Essa caracterização é expressa em termos de certos subgrupos normais de um grupo universal construído a partir de Gamma. Motivados pela estrutura simplicial que surge do grupoide de ação parcial de uma ação parcial de grupo, empregamos métodos simpliciais para estudar a (co)homologia de grupo parcial de ações parciais de grupo. Introduzimos o conceito de globalização universal de uma ação parcial de grupo em um K-módulo e provamos que, dada uma representação parcial de G em M, a homologia de grupo parcial de G em M é naturalmente isomorfa à homologia de grupo usual de G em W, onde W é a globalização universal da ação parcial de grupo associada a M. Dualizamos esse resultado em uma sequência espectral cohomológica convergindo para à cohomologia parcial de grupo. A (co)homologia de grupos parciais com coeficientes em um KparG-módulo surge naturalmente como um componente de uma sequência espectral que calcula a (co)homologia de Hochschild de um produto cruzado parcial. Estendemos essa análise para o caso Hopf. Dada uma álgebra de Hopf cocomutativa H sobre um anel comutativo K e uma ação parcial simétrica de H em uma K-álgebra A, obtemos uma sequência espectral de Grothendieck no primeiro quadrante convergindo para a homologia de Hochschild do produto smash A # H, envolvendo a homologia de Hochschild de A e a homologia parcial de H. Uma sequência espectral cohomológica no terceiro quadrante também é obtida. A definição da (co)homologia parcial de H em consideração é baseada na categoria das representações parciais de H, uma representação parcial específica de H em uma subálgebra B da álgebra parcial \"Hopf\" Hpar está envolvida na definição, e construímos uma resolução projetiva de B. Finalmente, concluímos o trabalho considerando ações parciais torcidas de grupo. Dado um grupo G e um conjunto parcial sigma de G, introduzimos a álgebra de grupo parcial torcida, que governa as representações parciais projetivas de G em álgebras sobre um corpo k. Usando a relação entre representações parciais projetivas e ações parciais torcidas, dotamos á álgebra de grupo torcida com a estrutura de um produto cruzado por uma ação parcial torcida de G em uma álgebra comutativa. Em seguida, usamos álgebras de grupo parcial torcidas para obter uma sequência espectral de Grothendieck no primeiro quadrante convergindo para a homologia de Hochschild do produto cruzado A * G, envolvendo a homologia de Hochschild de A e a homologia parcial de G. Uma sequência espectral cohomológica analógica no terceiro quadrante também é obtida. (AU)

Processo FAPESP: 22/12963-7 - (Co)homologia e ações parciais
Beneficiário:Emmanuel Jerez Usuga
Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado