Leis de conservação hiperbólicas com termo fonte: solução pelo método de diferenças finitas usando representação por log-conformation

Resumo

Vamos nos debruçar sobre alguns aspectos importantes do ponto de vista numérico, a saber: I) o tratamento dispensado aos termos de natureza convectiva e de caráter não-linear. II) o tratamento numérico dispensado quando incluímos termos fontes em analogia ao que ocorre na simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos. A procura de técnicas cada vez mais robustas é ainda fonte importante de pesquisa, principalmente porque equações mais completas motivam novos desenvolvimentos; este é o caso de uma equação com termo fonte. Um olhar ingênuo poderia induzir que equações sem fonte e com fonte são semelhantes e que, portanto, todo método numérico concebido para a primeira seria facilmente aplicado à segunda. Na verdade, isto nem sempre é válido. Em um contexto mais amplo, esta é a situação sintetizada, via de regra, pelo número de Weissemberg (We). Simplificadamente, quanto maior We, mais intensas as interações de natureza elástica e mais decisiva no escoamento a contribuição do termo fonte. No entanto, métodos clássicos comumente empregados esbarram em "nebulosas" restrições quanto a magnitude de We, sobre as quais muito se discute a causa: se são restrições de natureza numérica ou intrínseca ao próprio modelo viscoelástico. Tal situação tem incomodado e despertado o interesse de diversos pesquisadores nas últimas décadas, constituindo o chamado High Weissember Number Problem (HWNP). Recentemente, via a representação por conformação logarítmica da equação parcial (do inglês log-conformation representation ou, da sigla, LCR) há melhor indicação que a causa seja numérica. Da mesma forma que a solução numérica sem fonte exige o correto balanço da convecção, a solução com fonte precisa levar em consideração o balanço entre os termos de natureza convectiva não-linear (que gera o caráter hiperbólico) e o termo fonte elástico (que introduz um caráter stiff na equação parcial). Efetivamente, este é o ápice que pretendemos alcançar neste trabalho, analisando e reproduzindo o mecanismo associado ao HWNP através do estudo de equações simplificadas. Um problema simples que permite estudo amplo desses aspectos é a equação de Burgers com fonte. Desta maneira, é possível o tratamento de vários conceitos importantes na análise dos algoritmos numéricos, os quais, sendo estudados para esse caso simples, podem ser aplicados para equações mais complexas. Assim, o estudo vai abranger os métodos clássicos por diferenças finitas essencialmente não oscilatórios tipo TVD e suas propriedades e, na sequência, a análise das propriedades que se alteram quando passamos de sem fonte para com fonte. Isto abrange um estudo detalhado da representação por log-conformation e sua implementação. Aluna: Luciene Aparecida Bielça; Matemática - FCT/UNESP-PP; Orientador: Dr. Messias Meneguette Junior; Co-orientador: Fernando Pacanelli Martins. (AU)