Grupo fundamental - uma visao geometrica.

Resumo

Investigar a estrutura de um espaço topológico por meio de caminhos no espaço. Mais precisamente, dado um espaço topológico X e x_0 em X, associaremos através de caminhos fechados em X um grupo topológico denotado por \Pi_1(X,x_0) ou \Pi_1 (X) (quando o espaço for conexo por caminhos) denominado grupo fundamental de X. Usando tal grupo, alguns problemas sobre espaços topológicos e aplicações continuas podem ser reduzidos a problemas puramente algébricos sobre grupos e homomorfismos. Veremos por exemplo que o grupo fundamental e um invariante topológico, isto e, espaços homeomorfos tem grupos fundamentais isomorfos. De fato está condição pode ser enfraquecida, isto e, se X e Y são espaços topológicos e X pode ser "deformado continuamente" em Y (tem o mesmo tipo de homotopia) então \Pi_1(X) e \Pi_1(Y) são isomorfos. Assim se os grupos \Pi_1(X) e \Pi_1(Y) não são isomorfos, podemos afirmar que os espaços X e Y não são homeomorfos (e também não tem o mesmo tipo de homotopia). Grupo fundamental e um dos tópicos da chamada "Topologia Algébrica"- que grosseiramente falando consiste em encontrar métodos de reduzir problemas topológicos a questões de pura álgebra. (AU)