Sistemas dinamicos equivariantes com estruturas especiais.

Resumo

O objetivo principal deste projeto é estudar bifurcações em sistemas dinâmicos (EDO's) equivariantes com estruturas adicionais de rede ou reversibiliade temporal. O fator comum a estas duas classes de sistemas é que são definidas a partir de generalizações da noção de simetria espacial. No caso de uma estrutura de rede, as simetrias espaciais se manifestam como automorfismos do grafo subjacente. No caso de sistemas reversíveis, as simetrias espacias se combinam com a simetria de reversão temporal dando origem a simetrias espaço-temporiais. A presença de simetrias espaço temporais ou simetrias espacias em redes muitas vezes é deviada a uma certa idealização da situação que se está tentando modelar -- tal idealização é comum em modelos matemáticos. Simetrias -- assim como conservação de energia -- são apenas aproximadas em situações reais, no entanto o fato de que muitos dos fenômenos robustos observados nestas situações reais são prontamenteexplicados pela sua presença é uma forte indicação de que elas devem ser incorporadas nos modelos para estes fenômenos.Redes são ubiquas na biologia: exemplos incluem expressão gênica circuitos neurais, cadeias alimentares e transmissão de doenças. Redes são também comuns em outros ramos da ciência e há uma recente explosão de interesse nestes tópicos.Matemáticamente, uma rede pode ser descrita por um grafo direcionado cujos vértices (células) representam variáveis de estado e cujas arestasdirecionadas (flechas) representam interações entre estas variáveis. Os vértices e arestas são equipados com algum tipo de dinâmica, que pode ser a escolha de uma jogada (teoria dos jogos), probabiliade de transição (cadeias de Markov), estados discretos no tempo e no espaço (automatos celulares), ou estados continuos no tempo (EDO's acopladas, que é o caso que nos interessa).Sistemas dinâmicos reversíveis são sistemas dinâmicos com simetria de reveresão temporal, isto é, a simetria leva uma solução em outrasolução, porém invertendo a direção do tempo.Simetrias de reversão temporal estão entre as simetrias fundamentais discutidas nas ciências naturais, principlamente em problemas damecânica clássica em sua formulação hamiltoniana.Sistemas reversíveis apresentam uma mistura de comportamentos típicos de sistemas dissipativos e hamiltonianos. Um exemplo de comportamento tipicamente hamiltoniano é fato de haver um análogo ao teorema KAM para sistemas reversíveis, enquanto que a presença de (pares) de atratores e repulsores é típico em sistemasdissipativos.O tema principal de nossa investigação gira em torno da seguinte questão: como a estrutura especial (reversão temporal ou estrutura derede) influem na dinâmica e as bifurcações destes sistemas de forma robusta. Mais especificamente, como as bifurcações locais -- estacinárias e de Hopf -- são afetadas pela estrutura adicional.