Campos de vetores polinomiais homogeneos na esfera de dimensao 2.

Resumo

A teoria dos sistemas dinâmicos é uma das ferramentas mais importantes no estudo qualitativo e quantitativo dos modelos matemáticos de ciências aplicadas. A maioria destes modelos são formulados usando-se equações diferenciais (sistemas dinâmicos contínuos). Desde os primeiros trabalhos publicados por Poincaré no final do século XIX, a teoria qualitativa das equações diferenciais tem experimentado uma expansão significativa e atualmente envolve técnicas de quase todas as áreas da matemática. Um dos objetos mais estudados são os campos de vetores definidos por equações diferenciais ordinárias no plano ou em superfícies. Entretanto estes tópicos estão longe de serem totalmente entendidos e ainda restam muitos problemas por resolver, como o 16° problema de Hilbert, o problema do Centro-Foco, o problema da integrabilidade, etc. A finalidade deste projeto è avançar nos conhecimentos dos campos de vetores definidos por equações diferenciais. Nos restringiremos aos campos de vetores polinomiais homogêneos de grau 3 na esfera de dimensão 2. Trabalharemos na classificação dos centros tipo lineares, nilpotentes e linearmente nulos. Buscaremos cotas superiores para o número de ciclos limites que bifurcam de um centro ao perturbar-lo usando a técnica das integrais abelianas. E estudaremos a teoria de integrabilidade de Darboux para estes campos de vetores. Também estaremos buscando resultados envolvendo campos de vetores polinomiais homogêneos de grau arbitrário na esfera de dimensão 2. (AU)