A dinâmica de difeomorfismos de superfícies

Resumo

O estudo de sistemas dinâmicos em dimensão 2 é uma área ativa de pesquisa. Famílias tais como aquelas introduzidas por Hénon e Lozi têm sido objeto de estudo intensivo nos últimos anos e muitos resultados importantes foram obtidos. No entanto, ainda estamos longe de ter uma compreensão completa de tais famílias. Em dimensão 1, graças ao trabalho de vários pesquisadores durantes as últimas três décadas, há hoje uma teoria praticamente completa. Paralelos e diferenças entre a dinâmica de famílias em dimensões 1 e 2 foram desenvolvidos e explorados por vários autores. Meu trabalho passado inclui o desenvolvimento de um análogo bidimensional (poda) para a teoria de kneading de Milnor e Thurston e o estudo de tranças (braids) e implicação entre tranças (braid forcing). Esse projeto propõe a continuação do estudo de dinâmica em dimensão 2 e suas relações com a teoria de tranças e a teoria de Teichmüller. Segue uma lista de tópicos com descrições breves: 1. Transformações de pseudo-Anosov generalizadas e a família unimodal: Em trabalho anterior introduzi o conceito de transformações de pseudo-Anosov generalizadas, que generalizam as transformações pseudo-Anosov introduzidas por Thurston. Pretendo estudá-las, especialmente aquelas vindo de transformações unimodais (por sua simplicidade), pois fornecem um modelo geométrico controlado da transição para o caos em dimensão 2 e porque são casos-teste na construção de modelos lineares por partes para difeomorfismos em dimensão 2. 2. Modelos lineares por partes para difeomorfismos de superfícies: A extensão do estudo mencionado acima e o completamento do conjunto de transformações de pseudo-Anosov generalizadas fornecerão o contexto para se construir modelos lineares por partes para difeomorfismos de superfície em geral. Os vários passos necessários à essa extensão são descritos no projeto. 3. A família de Hénon complexa e a Conjectura da Frente de Poda: A Conjectura da Frente de Poda (CFP) é um problema central ainda em aberto sobre dinâmica em dimensão 2. Ela diz que toda transformação de Hénon pode ser descrita como uma 'ferradura parcial', isso é, como a ferradura de Smale da qual se destruiu (podou) parte da dinâmica. Pretendo usar as técnicas que desenvolvi em trabalhos anteriores, aquelas mencionadas nos itens acima e técnicas usadas no estudo da família de Hénon complexa para prová-la. (AU)