Simetrias Ocultas em Redes de Sistemas Dinâmicos

Resumo

Este projeto aborda os desafios impostos por sistemas complexos do mundo real, descritos como redes de elementos dinâmicos interconectados. Esses sistemas estão presentes em campos diversos, como ecologia, biologia e física. Mudanças na estrutura de interação têm efeitos de longo alcance. De fato, distúrbios como a doença de Parkinson, esquizofrenia e epilepsia são acreditados estar ligados a padrões de interação anormais entre neurônios. Prever distúrbios e antecipar suas consequências é crucial para evitar desastres.Desenvolveremos ferramentas matemáticas abrangentes para classificar bifurcações e outros comportamentos dinâmicos em sistemas de redes. Minha abordagem vai direto ao cerne de muitos problemas da área, ao considerar a própria estrutura da rede como uma propriedade geométrica intrínseca do sistema. Consequentemente, obtém-se um ponto de apoio para uma ampla variedade de técnicas interdisciplinares, que utilizarei para analisar sistematicamente o impacto das estruturas de interação.A principal questão no campo dos sistemas dinâmicos de redes é: qual é a influência de uma estrutura de rede em um sistema dinâmico? A importância deste problema advém de inúmeras aplicações, que vão desde a ecologia até redes elétricas e da neurociência ao controle de doenças. Ao longo dos anos, pesquisadores obtiveram muitos resultados poderosos ao abordar essa questão a partir de uma quantidade igualmente impressionante de direções. Apesar disso, algumas das técnicas mais elementares da teoria dos sistemas dinâmicos permanecem indisponíveis no contexto de redes. Notavelmente, a teoria das bifurcações, que estuda mudanças qualitativas no comportamento dinâmico, ainda é mal compreendida para tais sistemas. Não apenas as bifurcações locais são essenciais em inúmeros resultados e aplicações - até mesmo consideradas o 'arroz com feijão' da comunidade de sistemas dinâmicos -, elas também se mostram surpreendentemente ricas em sistemas de redes. Ao mesmo tempo, as técnicas estabelecidas de bifurcação simplesmente não são capazes de lidar com a estrutura de rede. Considerando o sucesso histórico da teoria das bifurcações, esta é uma grande limitação que está significativamente atrasando o progresso no campo. Nos últimos anos, desenvolvi uma estrutura unificadora para resolver este problema aberto de longa data, baseada em descrições geométricas intrínsecas da estrutura da rede.