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Condições suficientes para a realização de grafos de Lyapunov como fluxos Gutierrez-Sotomayor

Processo: 23/03430-8
Modalidade de apoio:Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
Vigência (Início): 01 de junho de 2023
Vigência (Término): 30 de setembro de 2024
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
Pesquisador responsável:Marco Antônio Teixeira
Beneficiário:Murilo André de Jesus Zigart
Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
Vinculado ao auxílio:18/13481-0 - Geometria de sistemas de controle, sistemas dinâmicos e estocásticos, AP.TEM
Assunto(s):Teoria do índice de Conley   Sistemas dinâmicos
Palavra(s)-Chave do Pesquisador:fluxos singulares | Grafos de Lyapunov | Teoria do Índice de Conley | Sistemas Dinâmicos

Resumo

Pretendemos neste projeto realizar um estudo de aspectos globais de fluxos tangentes a variedades singulares contendo pontos regulares (R), cones (C), cross-caps (W), pontos duplos (D) e pontos triplos (T), conhecidos como fluxos Gutierrez-Sotomayor, ou de forma abreviada, fluxos GS. Utilizando grafos de Lyapunov como ferramenta combinatorial e métodos provenientes da Teoria do Índice de Conley, serão abordados problemas sobre o mapeamento dos bordos de blocos isolantes que realizam localmente cada vértice de um grafo abstrato e seu conjunto de arestas incidentes como fluxo GS, e as obstruções topológicas para a colagem de tais blocos de modo a produzir uma realização global do grafo como fluxo GS em uma variedade singular fechada. Mais precisamente, estudaremos uma caracterização de condições suficientes para decidir sobre a realizabilidade de grafos abstratos como fluxos GS, o que permite a construção de exemplos e estudos qualitativos em geral, como o estudo da característica de Euler e de outros invariantes topológicos no contexto de fluxos singulares. Dada a presença de órbitas singulares associadas às singularidades W, D e T de fluxos GS, chamadas de costuras, temos por objetivo inicial determinar ferramentas a fim de identificar quando duas variedades singulares de codimensão um presentes em bordos de blocos isolantes para singularidades GS são homeomorfas, visto que quanto maior o número de costuras passando por um bloco isolante, mais difícil é essa análise. Em geral, bordos não homeomorfos são a principal obstrução que inviabilizam a realização dos grafos, sendo que na literatura, encontramos poucos casos solucionados, a saber: grafos lineares; grafos com bifurcações, mas que contém apenas costuras de singularidades W; e grafos com números específicos de costuras, chamados de grafos minimais. Feito isso, investigaremos resultados parciais acerca de grafos com bifurcações contendo costuras de singularidades W e D simultanemante. Por fim, utilizaremos os resultados encontrados para considerar o problema equivalente em dimensão três, para o qual a realização global é um problema completamente em aberto.

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