Aproximações topologicamente equiresolvíveis para germes analíticos

Resumo

O objetivo deste projeto é provar a existência de aproximações arbitrariamente próximas e equiresolvíveis de germes de espaços analíticos reais e complexos. Trata-se da continuação dos resultados obtidos pelo autor em sua tese de doutorado ``Aproximações equisingulares de germes analíticos", que aborda o problema geral de aproximação de germes analíticos reais e complexos por germes que são Nash ou algébricos e que retêm propriedades algébricas e geométricas importantes do germe original (isto é, são equisingulares). Em sua tese de doutorado, o candidato provou que qualquer germe analítico (real ou complexo) pode ser aproximado por um germe que é Nash (isto é, definido por séries de potência algébricas), é topologicamente equisingular e possui a mesma função de Hilbert-Samuel. Este invariante tem um papel fundamental na resolução de singularidades segundo Hironaka, em que é atribuída uma medida da singularidade e que acompanha o progresso da desingularização. O método motiva a questão que esta proposta objetiva responder afirmativamente. Isto é, dado um germe analítico (real ou complexo), existem aproximações arbitrariamente próximas que são Nash e equiresolvíveis no sentido de Hironaka, de forma que os objetos intermediários da desingularização sejam topologicamente equivalentes ao germe original. Como consequência desse resultado conclui-se que todas as singularidades analíticas são Nash. O problema se relaciona com a geometria bi-Lipschitz de singularidades que este projeto também pretende explorar. (AU)