Teoria seccional de um morfismo

Resumo

O presente projeto de pesquisa tem como objetivo a construção dos fundamentos da teoria seccional na teoria de categorias e a construção de pontes entre áreas importantes da matemática. Especificamente, este projeto de pesquisa consiste na abordagem dos seguintes importantes problemas na área de Geometria e Topologia.(1) Definimos e estudamos uma generalização no nível de categorias do gênus de Schwarz (conhecida também como a categoria seccional) de uma fibração. De fato, para um morfismo arbitrário $f:X\to Y$ em uma categoria $\mathcal{C}$, definimos um invariante numérico, o número seccional $\text{sec}(f)$ de $f$, em termos de coberturas no contradomínio $Y$.(2) Estudo do número seccional de (alguns) morfismos que aparecem na robótica.(3) Estudo do número seccional de um homomorfismo de grupos. Este novo invariante generaliza o número de cobertura de um grupo.(4) Estudo do número seccional de um funtor. (5) Estudo dos problemas relacionados com o número seccional.(6) Estudo das aplicações concretas do número seccional na indústria e tecnologia. Por exemplo, apresentaremos uma solução para o problema de planejamento de movimento de um sistema multi-robô de veículos terrestres não tripulados (UGVs) de combate a incêndio e resgate. No setor do transporte aéreo, apresentaremos uma solução para o problema de navegação de aeronaves. Por outro lado, apresentaremos um estudo da complexidade e o desenho das soluções para alguns problemas gerados pela pandemia da COVID, por exemplo, problemas econômicos e sociais.