Variedades invariantes e conjuntos periódicos limite de folheações descontínuas

Resumo

Sistemas slow-fast (também conhecidos como problemas de perturbação singular) são uma classe especial de equações diferenciais ordinárias caracterizada pela existência de soluções com múltiplas escalas de tempo. Além da vasta aplicabilidade em vários ramos da ciência e da engenharia, esta classe de sistemas chama a atenção pelo seu comportamento rico e desafiador. Este projeto de pesquisa tem como objetivo responder duas perguntas a respeito desta classe de sistemas. A primeira delas é uma conjectura presente no recente artigo [Meza-Sarmiento, Oliveira e Silva em Nonlinear Analysis: Real World Applications 60:103283, 2021] que trata da dinâmica global de sistemas slow-fast quadráticos no plano. Os autores caracterizaram os retratos de fase global desta classe de sistemas slow-fast na esfera de Poincaré e conjecturaram uma versão global do Teorema de Fenichel. O Teorema de Fenichel é um resultado de grande importância na Teoria Geométrica das Perturbações singulares e que garante a persistência de variedades localmente invariantes compactas e normalmente hiperbólicas. Uma versão global deste resultado asseguraria a persistência de tais variedades em todo o disco de Poincaré, isto é, tanto na parte finita quanto na parte infinita. O segundo problema que o presente projeto de pesquisa aborda é o estudo de soluções canard no contexto de sistemas slow-fast obtidos a partir de regularizações do tipo transição de folheações descontínuas. Muitos avanços tem sido feitos no contexto de regularizações monótonas, isto é, regularizações que usam funções de transição monótonas. Entretanto, funções de transição do tipo transição são mais gerais e podem dar origem a singularidades na parte não normalmente hiperbólica que não aparecem no caso monótono. Dessa forma, condições sobre a existência de soluções canards irão depender da função de transição adotada.