Tranças, espaços de configuração e aplicações em funções a valores múltiplos

Resumo

Dado um espaço X onde um grupo G age livremente, considere o espaço de configuração em n coordenadas, denotado por FGn(X) que consiste do subconjunto das n-tuplas (x1,...,xn) de X^n tais que a interseção entre Gxi e Gxj é vazia para todo i diferente de j. A relevância deste espaço é bem conhecida onde por exemplo se G é o grupo trivial o seu grupo fundamental é o grupo de tranças em n cordas de X. Além disto, várias questões, como de ponto fixo ou coincidência são codificadas usando estes espaços. Se pretende calcular o tipo de homotopia da fibra de homotopia da inclusão. Vários casos são conhecidos porém muito tem a ser feito. Técnicas não elementares de homotopia, devem ser úteis. Ver para isto (bem como os resultados já conhecidos) as referencias [1], [2], [3]. O espaço FGn(X) tem sido utilizado na determinação da fibra de homotopia para X=G e adeterminação do seu grupo fundamental surgiu como uma generalização do grupo de tranças. Até o presente o único cálculo feito é do caso onde X é o cilindro e o grupo G=Z2, o qual se encontra em [1]. Para todos os pares (X,G) onde X é uma superfície e G um grupo finito procura-se determinar pi_1(FGn(X)). As técnicas clássicas de teoria grupos tipo sequência curta, presentação de um grupo dado por uma sequência exata curta, mais a geometria da superfície tem um papel relevante nas técnicas usadas.Utilizando os espaços de configuração, questões de teoria de ponto fixo de Nielsen para funções a valores múltiplos são codificadas. Trata-se de determinar fórmulas e ferramentas que possam propiciar o cálculo do número de Nielsen de funções a valores múltiplos, principalmente generalizando os casos que são conhecidos para funções a valores simples. Além disto, procura-se estudar questões de ponto fixo relacionadas com a propriedade de ponto fixo assim com a caracterização das classes de homotopia livre de ponto fixo. Os resultados conhecidos e recentespodem ser vistos em [4], [5] e [6].Finalmente, um melhor entendimento dos grupos de tranças passa por uma análise de seus subgrupos. Este problema tem uma longa história onde se começou com um trabalho inicial de se saber se os quaterniônicos de ordem oito, Q8, era um subgrupodo grupo de tranças da esfera. Neste sentido se considera o problema de determinar as classes de conjugação dos subgrupos finitos do grupo de tranças da esfera e do plano projetivo. Consideraremos o caso plano projetivo, assim como subgrupos infinitos em especial os virtualmente cíclicos. Estes grupos estão intimamente relacionados com os grupos que atuam nas esferas de homotopia e esta conexão tem se mostrado frutífera. Resultados que mostram o desenvolvimento destas questões podem ser vistos em [7, 8, 9]. Todas as referências acima constam no PDF do projeto de pesquisa. (AU)