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Feixes instanton e feixes logarítimicos em variedades de dimensão três

Processo: 22/09063-4
Linha de fomento:Bolsas no Exterior - Estágio de Pesquisa - Pós-Doutorado
Vigência (Início): 01 de outubro de 2022
Vigência (Término): 30 de setembro de 2023
Área do conhecimento:Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
Pesquisador responsável:Marcos Benevenuto Jardim
Beneficiário:Gaia Comaschi
Supervisor no Exterior: Daniele Faenzi
Instituição-sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
Local de pesquisa: Université de Bourgogne, França  
Vinculado à bolsa:19/21140-1 - Espaços de módulos de representações pfaffianas de variedades cúbicas de dimensão três e fibrados instanton, BP.PD
Assunto(s):Geometria algébrica

Resumo

Durante meu ano no exterior, o meu objetivo é dedicar minha pesquisa a dois temas principais: os feixes instanton sobre as variedades de Fano de dimensão três e os feixes tangentes logarítmicos. Os feixes instanton são o tema do projeto de pesquisa que realizei neste último ano com M. Jardim. Em nosso trabalho introduzimos a noção de feixes instanton sobre uma variedade de Fano X de dimensão 3 e rango de Picard 1, estendendo a definição "clássica" (originalmente introduzida para fibrados vetoriais de posto 2 no espaço projetivo) para feixes não necessariamente localmente livres de posto arbitrário; além disso, exibimos várias características desses feixes e investigamos seu comportamento nas famílias. No contexto específico de módulos de instantons de posto 2, nossos resultados apontaram que um papel proeminente é desempenhado por dois objetos: as famílias de instantons não localmente livres e as famílias de curvas em X. Através do estudo destas famílias, podemos de facto obter informaçoes sobre os módulos de fibrados instanton, permitindo, por exemplo, provar a existência de componentes, determinar as suas dimensões e caracterizar as suas fronteiras. A investigação de famílias de curvas e de instantons não localmente livres fornece uma técnica eficaz não apenas para estudar os módulos de fibrados instanton, mas para determinar, de forma mais geral, os aspectos locais e globais de todo o espaço de módulos de instantons ( esses módulos podem conter, de fato, componentes quem não parametrizam feixes localmente livres). É minha intenção utilizar os métodos acima mencionados para investigar o comportamento de algumas famílias de instantons que ainda não haviam sido tratadas pela literatura existente. A primeira é a família de instantons estritamente mu-semistable sobre as variedades de Fanos de índice 2 (estes são de fato as unicas variedades de Fano quem suportam instantons estritamente mu-semistable e Gieseker semiestável com duplo dual não trivial), e os instantons de posto 2 em variedades de Fano de índice um (para algumas dessas variedades de Fano a existência dos instantons é de fato ainda desconhecida). O segundo tema sobre o qual gostaria de abordar minha pesquisa são os feixes tangentes logarítmicos. A definição de feixe tangente logarítmico, originalmente introduzida nas hipersuperfícies do espaço projetivo, foi recentemente estendida, por M.Jardim-D.Faenzi e J.Vallees, para interseções completas. Uma das principais questões que enfrentamos quando estudamos esses feixes em uma interseção completa X é determinar como as propriedades algébricas da sequência regular que define X se relacionam com as propriedades algébricas e geométricas (como estabilidade, singularidade ou liberdade local) do feixe logarítmico associado. Uma resposta a esta pergunta foi fornecida, por Faenzi, Jardim, Valles, para o caso específico das interseções de 2 quádricas; meu objetivo é obter resultados nestas direções para variedades de maior grau de codimensões. Além disso, também espero generalizar outros resultados válidos para hipersuperfícies, como os teoremas dos tipos Torelli, para o caso de interseção completa.

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