Condições de estabilidade em variedades de dimensão alta e espaços de módulos

Resumo

A teoria de espaços de módulos é um tema central em Geometria Algébrica. Toda construção de espaços de módulos sempre usa algum conceito de estabilidade. Motivado por trabalhos em teoria de cordas, Bridgeland introduziu a condições de estabilidade em categorias trianguladas e propôs a existência de uma variedade que parametriza tais objetos. Ademais, existe uma estrutura localmente finata de câmaras e paredes nesta variedade tais que o espaço de módulos de objetos estáveis com classe numérica fixada não varia em cada câmara. Estas ideias não apenas revolucionaram o estudo de espaços de módulos, como também forneceram novas interligações com outras áreas da Matemática, tais como teoria de representações, Geometria Geometria enumerativa, e clássica. Este projeto se divide em dois objetivos principais. O primeiro é investigar a existência de condições de estabilidade em variedades de dimensão mais alta, que é um problema bastante não trivial já em variedades de dimensão 3. Geômetras vem contribuindo para este problema, que permanece bem aberto. Nós definimos uma família de condições de estabilidade de "Euler" em espaços projetivos de dimensão arbitrária usando a característica de Euler de um objeto e suas derivadas. O candidato trabalhou com aplicações desta família de condições de estabilidade em sua tese de doutorado. Nós tentaremos generalizar esta ideia para outras variedades cuja categoria derivada de feixes coerentes é generada por uma coleção excepcional. O exemplos iniciais seriam quádricas e grasmmanianas. O segundo objetivo é estudar o espaço de módulos de objetos Bridgeland estáveis a partir do ponto de vista de representações de quivers. No caso da variedade admitir uma coleção exepcional, o espaço de módulos de objetos Bridgeland estáveis é equivalente a construção de King de espaços de módulos de representações de quivers. O fenômeno de cruzamento de paredes na variedade das condições de estabilidade relaçiona-se então com o problema clássico de variações de estabilidade em GIT. Algumas conjecturas e aplicações, por exemplo, que condições de estabilidade de Bridgeland convergem para estabilidade de Gieseker, podem ser abordados através da identificação destes espaços de módulos. (AU)