Sincronias em sistemas acoplados: uma conexão entre grafos e singularidades

Resumo

O presente projeto trata de redes de sistemas dinâmicos acoplados, propondo a aplicação e desenvolvimento de novos resultados não somente em sistemas dinâmicos como nas teorias de grafos e de singularidades. A correlação destas teorias está na análise sistemática de ocorrência de sincronias, tema principal de investigação desta proposta. Mais precisamente, um grafo determina a estrutura de um tal sistema, com as células individuais representadas pelos seus vértices e os acoplamentos entre células pelas suas arestas. Os possíveis padrões de sincronia são determinados a partir da topologia do grafo e são configurações que residem em subespaços invariantes pela dinâmica. Tais subespaços são definidos a partir de uma relação de equivalência no conjunto de vértices do grafo, dada por certas simetrias definidas pelas conexões entre os vértices. Sincronias estacionárias são de particular importância neste projeto: são dadas como singularidades do campo de vetores. Queremos, na maior generalidade possível, desenvolver o tratamento sistemático de questões locais de estabilidade, formas normais e bifurcações, questões teóricas todas em aberto e, ao nosso ver, de grande relevância. Como resultados esperados incluímos também aplicações de redes que modelam a dinâmica do cérebro. Nossas questões estão em paralelo com um grande número de pesquisa recente conduzida para se aumentar a compreensão de vários aspectos dinâmicos cerebrais, particularmente no que tange certos comportamentos anormais. Teoricamente, certas sincronias anormais entre regiões do cérebro caracterizam fenômenos de Epilepsia. Algumas referências aqui apresentadas nos dão indicativos de que este problema pode ser abordado matematicamente como um modelo de Kuramoto, modelo tratado recentemente pela orientadora deste projeto no contexto de sistemas acoplados. Os resultados pretendidos desta proposta estão relacionados a um tema de pesquisa coordenado pela orientadora inserido no projeto Temático "Teoria de singularidades e aplicações a geometria diferencial, equações diferenciais e visão computacional", ora em contratação. (AU)