Limites invíscidos no regime de ruído evanescente para turbulência de Burgers

Resumo

O objetivo deste plano de pesquisa é a investigação do limite evanescente simultâneo da intensidade do ruído e da viscosidade cinemática para a equação de Burgers estocástica. É um fato bem conhecido que adicionando um termo viscoso ou uma força de perturbação estocástica a equações com derivadas parciais (EDPs) de primeira ordem geralmente torna a solução da equação resultante mais regular (soluções não únicas tornam-se únicas ou mais regulares). Portanto trata-se de uma pergunta natural a de saber o que acontece quando ambas fontes de regularização desaparecem. Para o propósito de explorar as diversas formas de expressar a solução da equação determinista e a compreensão total da equação estocástica que está disponível na literatura atual, resolvemos nos focar no caso de uma dimensão espacial. Consideramos a equação de Burgers estocasticamente perturbada por dois tipos de forças: ruído branco aditivo e um ruído do tipo transporte. Para cada tipo de perturbação nós desenvolvemos uma metodologia com a qual executamos o limite simultâneo da viscosidade nula acoplada com ruído evanescente. Para a equação diferencial parcial estocástica (EDPE) com ruído branco aditivo nós desenvolvemos uma abordagem caminho a caminho (a nível das trajetórias do processo solução). Neste caso nós conectamos a EDPE a um sistema estocástico de equações diferenciais características que tentam oferecer um modo de medir a concentração do processo estocástico solução em torno das ondas de choque da PDE obtida através do limite invíscido. Em última análise, o nosso objetivo é de obter estimativas para as médias e probabilidades associadas a este fenómeno. Para o segundo tipo de perturbação nós desenvolvemos uma abordagem distribucional, associando a EDPE de Burgers a um objeto estocástico constituído por equações diferenciais do tipo mean-field. Ambas as abordagens são complementares ao nível de reduzir complexidade do modelo. Temos a convicção de extrair diferente conhecimento quantitativo através das duas abordagens aqui sumariamente descritas para o limite invíscido no regime de ruído evanescente para as equações de fluídos turbulentos do tipo Burgers. Este trabalho é sobretudo uma tentativa de primeira direção de pesquisa sobre o fenómeno de limite de viscosidade nula acoplado com limite de ruído nulo para modelos mais complicados da Dinâmica de Fluídos. (AU)