Origens do ponto genérico em geometria algébrica e na prática matemática

Resumo

Em geometria euclidiana, o conceito de ponto é uma noção primitiva caracterizada intuitivamente como "aquilo que não tem parte". Dentre os conceitos definidos com base nessa noção, está o de escalar: um escalar é o que pode ser descrito como um ponto em uma escala. Ao longo do desenvolvimento da geometria, a noção de ponto recebeu uma série de outras caracterizações: em geometria analítica, passou a ser tomado como coordenada, em geometria projetiva, como espaço projetivo, e assim por diante. Mais recentemente, com o florescimento da topologia e os novos desenvolvimentos da geometria algébrica, o conceito de ponto transformou-se novamente, agora sobre as bases de um movimento que Jean Dieudonné, matemático e historiador da geometria francês, denominou de "estendendo os escalares": a partir de tal movimento, cujas origens esta pesquisa se propõe averiguar, o conceito de ponto genérico pôde ser introduzido no léxico dos geômetras algébricos. Como, porém, compatibilizar a individualidade necessária da noção primitiva de ponto com a genericidade exigida pelo novo conceito introduzido? O conceito de ponto genérico é, ele próprio, uma noção primitiva ou um conceito construído com base em outros? Tendo em vista oferecer uma análise histórico-conceitual do desenvolvimento no qual culminou a estensão dos escalares, partiremos do esquema de "movimentos" oferecido por Dieudonné em 'The historical development of algebraic geometry' (1972), com base no qual defenderemos a hipótese de que a introdução do conceito de ponto genérico deveu-se ao processo de crescente abstração dos objetos de estudo da geometria algébrica iniciada com a formulação da topologia das variedades de Zariski na década de 1940 e culminou na teoria dos esquemas de Grothendieck em 1957. Dentro dessa perspectiva, avaliaremos ainda a sugestão de Dieudonné, segundo a qual o movimento da estensão dos escalares fora precursor do método de mudança de base da teoria dos esquemas. Buscaremos compreender, também, como a teoria dos conjuntos, por meio da noção de conjuntos arbitrários, poderia oferecer uma base para a definição do conceito de ponto genérico. Por fim, esperamos encontrar, na teoria dos objetos arbitrários de Kit Fine, um meio de compreender a natureza desses objetos geométricos particulares que, segundo Dieudonné, reintroduziu a simplicidade na mesma medida que ampliou o alcance das provas em geometria algébrica. (AU)