Aplicações das simetrias de Lie na teoria de vigas

Resumo

Em meados do século XIX Sophus Lie estudou a relação geométrica existente entre simetrias contínuas e equações diferenciais. Em particular, a aplicação destas transformações de simetrias nas variáveis dependentes e independentes pode gerar equações diferenciais em novas variáveis que são mais fáceis de integrar ou mesmo reduzir a própria ordem através da obtenção de integrais primeiras (invariantes). Uma das grandes dificuldades é encontrar todas as simetrias envolvidas com a equação diferencial de interesse e, consequentemente, todas as leis de conservação existentes, não apenas as triviais. O trabalho de Sophus Lie foi seminal por propor um método poderoso para se revelar tais simetrias e invariantes. Infelizmente, estas técnicas não são populares e nem amplamente empregadas em problemas práticos de engenharia, mesmo o trabalho de Lie sendo consolidado na comunidade matemática e ter mais de um século de existência. No entanto, o uso da teoria desenvolvida por Lie pode ser muito útil, não só para explicar racionalmente muito do que se faz corriqueiramente em vários problemas de engenharia que envolvem equações diferenciais, como também dar uma noção geométrica clara da relação entre integrabilidade, ou seja, a possibilidade ou não de uma solução por funções conhecidas, com a existência de invariantes, ou seja, quantidades se conservando. Assim, este projeto de IC tem como objetivo principal introduzir o aluno bolsista nestes conceitos a partir do uso de simetrias de Lie aplicadas para revelar todas as simetrias e transformações que podem ser feitas diretamente em problemas clássicos envolvendo a equação da Viga de Euler-Bernoulli. Busca-se aplicar o Teorema Fundamental de Lie para obtenção de todos os invariantes associados a todas as simetrias e, em especial, em combinações destas. O grande desafio e contribuição original que este trabalho de IC pode gerar se refere a proposição de um novo método via Simetrias de Lie para cálculo de um invariante muito útil que é associado a equação da viga: o cálculo de reações de apoio em casos hiperestáticos e uma forma alternativa para o cálculo da energia de deformação, por exemplo. (AU)