Aspectos dinâmicos de sistemas fermiônicos em rede com interações de longo alcance

Resumo

Na monografia [1] a análise do equilíbrio termodinâmico de modelos para férmions em cristais com interações de longo alcance é colocada num quadro matemático semelhante ao usado em [2, 3] para modelos com interações de curto alcance. A dizer, problemas relacionados ao equilíbrio termodinâmico de partículas quânticas são formulados como problemas de minimização (de um funcional de densidade de energia livre) em espaços vetoriais topológicos localmente convexos. Observe que, aqui, o termo interação de longo alcance refere-se a interações que possuam componentes do tipo mean field. Estados de equilíbrio para interações de curto alcance também podem ser definidos como sendo os estados KMS relativos ao grupo de automorfismos gerado pela interação [2, 3]. É possível mostrar que os estados KMS invariantes por translação são exatamente os minimizantes do funcional de densidade de energia livre - veja [2], por exemplo - portanto as duas abordagens são equivalentes no que diz respeito a estados invariantes de translação e interações de alcance curto. No caso dos modelos com interações de longo alcance, o uso da propriedade KMS, que é uma condição dinâmica, como definição de estados de equilíbrio é menos imediata, pois não é clara, em geral, a existência de uma dinâmica fortemente contínua no limite termodinâmico; veja, p.e., [7]. Porém, como observado por Haag [8], a dinâmica possui, em certas representações da álgebra de operadores, um limite termodinâmico no sentido da topologia forte para operadores, mesmo para interações de longo alcance. Van Hemmen [9] utiliza tal fato para definir estados de equilíbrio termodinâmico para sistemas infinitamente extensos, com interações de longo alcance, através da condição dinâmica KMS. O tema principal da pesquisa de mestrado de Rafael Miada será mostrar, para uma classe o mais geral possível de modelos de longo alcance, que minimizantes da densidade de energia livre são estados de equilíbrio no sentido de van Hemmen. Outros problemas relacionados a esse fato também deverão ser abordados. Por exemplo, desejamos compreender a relação entre limites termodinâmicos de funções de correlação temporais de estados de Gibbs e tais funções para o estado de equilíbrio (infinitamente extenso) de van Hemmen correspondente. Tal relação foi estudada para um modelo exatamente solúvel em [7], mas não há, de nosso saber, resultados gerais a respeito. Esperamos poder dar alguma contribuição ao problema acima descrito, pois na monografia [1] é demonstrado um resultado geral sobre a estrutura de minimizantes da densidade de energia livre de modelos com interação de longo alcance: tais minimizantes são sempre integrais convexas de estados minimizantes de modelos efetivos com interação de curto alcance. Portanto, é de se esperar que usando tal representação para minimizantes de modelos de longo alcance, se possa aplicar o que é conhecido sobre estados KMS para interações de curto alcance. (AU)