Fibrados hiperbólicos: deformações e invariantes

Resumo

Uma questão central em geometria Riemanniana é a seguinte: quando uma dada variedade diferenciável admite certa estrutura geométrica? Estamos particularmente interessados no caso em que a variedade é um fibrado de discos sobre uma superfície fechada orientável e, a estrutura geométrica, a hiperbólica complexa. Vários exemplos de fibrados hiperbólicos complexos foram construídos pelo orientador e seus colaboradores. O próximo passo natural é começar o estudo dos espaços classificadores das estruturas hiperbólicas complexas em tais fibrados, ou seja, iniciar o estudo dos correspondentes espaços de Teichmüller. Para este fim, pretendemos inicialmente buscar novos invariantes discretos de representações discretas e fiéis de grupos de superfícies no grupo de isometrias holomorfas do plano hiperbólico complexo. Além disso, buscaremos desenvolver uma nova versão local do teorema poliedral de Poincaré que, admitindo ciclos parabólicos de vértices, possa ser efetivamente aplicada ao estudo de deformações das mencionadas estruturas hiperbólicas complexas. (AU)