Métodos de otimização e viabilidade para problemas inversos e tomografia

Resumo

Muitos Problemas Inversos, em especial a tomografia de raios X e de emissão, são modelados por sistemas de equações lineares de grande porte, que geram problemas matemáticos mal condicionados. Para encontrar uma solução estável se faz necessário acrescentar informação adicional não contida nas equações. Toda essa informação é utilizada através de diferentes modelos onde deve ser resolvido um problema de otimização ou de viabilidade. Por sua vez, isto gera a necessidade de estudar algoritmos específicos para esse tipo de problemas matemáticos assim como o estudo dos parâmetros que aparecem nesses algoritmos. Neste projeto propomos o estudo de vários problemas abertos e aspectos teóricos desses algoritmos e modelos. Estudaremos a relação entre o método de Douglas-Rachford e o subgradiente relaxado assim como a aceleração proposta por Nesterov-Beck-Teboulle. Também estudaremos a possibilidade de eliminar os parâmetros de subrelaxação que aparecem em alguns algoritmos, analisando propriedades de convergência assimptótica. Analisaremos a possibilidade de obter uma teoria unificada para um conjunto de medidas de divergência, como a de Kullback Leibler, usadas para medir a consistência das equações modelizando a informação sobre o ruído nos dados em Problemas Inversos. (AU)