Curvas Quarticas sobre corpos finitos

Resumo

Propomos conduzir pesquisas na área da geometria algébrica, em particular no estudo de curvas planas quárticas, predominantemente sobre corpos finitos. O objetivo desta pesquisa é principalmente resolver problemas 1 e 2.Problema 1. Quantos pontos racionais existem em uma curva quártica sobre corpos finitos?Problema 2. A classificação projetiva de curvas quárticas sobre corpos finitos.Detalhes dos Problemas 1 e 2Existem várias cotas para o número de pontos em uma curva plana quártica sobre um corpo finito de ordem q. Para certos valores de q, existem exemplos onde algumas dessas cotas são atingidas. Tais cotas são apresentados na seção 2 da nossa proposta. Por outro lado, não existem resultados sobre a existência de quárticas com N pontos racionais sobre um corpo finito de ordem q, onde N é um valor arbitrário dentro do intervalo estabelecido pelas cotas. As quárticas são projetivamente classificadas apenas sobre corpos finitos de ordem pequena, o menor corpo sobre o qual as curvas quárticas não são projetivamente classificadas é o de ordem onze. Não há uma classificação de curvas quárticas planas sobre corpos finitos em geral como existe para o caso das cúbicas.Abordagens para Problemas 1 e 2A seguir, apresentamos um resumo das abordagens a serem tomadas na resolução de problemas 1 e 2. Como está explícito na proposta, esta está sujeita a alterações, pois algumas abordagens podem revelar-se infrutíferas e outras abordagens e técnicas poderão surgir ao longo da pesquisa.i) estudar a classificação projetiva das quárticas sobre corpos finitos de ordem menores que onze, e determinar se existem quaisquer resultados que podem ser extrapolados para mais gerais corpos finitos.ii) estudar curvas planas quárticas sobre os números complexos também pode revelar resultados que podem ser traduzidos para curvas planas quárticas sobre corpos finitos.iii) analisar que resultados relacionados aos problemas 1 e 2 se aplicam para corpos finitos de ordens q específicas, por exemplo, quando q é um primo.iv) quárticas não-singulares possuem gênero 3, assim as quárticas não-singulares podem ser estudadas dentro de um cenário mais geral: curvas de gênero 3.v) sabe-se que retas em superfícies cúbicas projetam em bitangents de quárticas conforme descrito na Seção 3 da proposta. As seguintes perguntas surgem naturalmente: Será que o problema de determinar o numero de pontos racionais em quárticas não singulares, ou mesmo a classificação de tais curvas, pode ser resolvido totalmente através do estudo de suas bitangentes ou mesmo através do um estudo das superfícies cúbicas?O que pode ser determinado sobre a classificação das quárticas sobre corpos finitos através de um estudo detalhado da classificação das cúbicas sobre corpos finitos?