Aspectos probabilísticos e algébricos de sistemas dinâmicos suaves

Resumo

Em termos gerais, o objetivo de pesquisa na área de sistemas dinâmicos e Teoria ergódica é descrever o comportamento ao longo prazo de um sistema com uma lei de evolução. Existem grandes interações entre área de sistemas dinâmicos, outras áreas em matemática como probabilidade, geometria e teoria dos números e física. Um dos objetivos na teoria ergódica suave de sistemas dinâmicos é a compreender a semelhança entre evolução de um observável pela ação de um grupo (em particular iterações de uma transformação inversível) e comportamentos assintóticos de variáveis aleatórios independentes. Grandes avanços na teoria foram obtidos nas décadas 60, 70 e a maioria dos resultados foi obtido para sistemas uniformemente hiperbólicos (principalmente fundada pelo S. Smale, sem esquecer de Andronov e Pontryagin e escola de Moscow). Bowen, Ruelle e Sinai realizaram uma conexão entre mecânica estatística e sistemas dinâmicos hiperbólicos com construção de medidas físicas para estes sistemas. Nas últimas décadas formas mais fracas de hiperbolicidade foram introduzidas (Principalmente pelo Pugh, Pesin, Shub e Mañé). Sistemas dinâmicos parcialmente hiperbólicos, decomposição dominada e sistemas não-uniformemente hiperbólicos (teoria de Pesin) são as principais classes de sistemas com ricas propriedades caóticas. Na teoria de sistemas dinâmicos uni-dimensionais inspirados pelos resultados em mecânica estatística, Feigenbaum, Coullet e Tresser sugeriram ideias de teoria de renormalização. Grandes avanços foram feitos por Sullivan e Lyubich. É interessante observar que a dinâmica hiperbólica e ferradura (de Smale) aparecem no estudo de operador de renormalização pelo Lyubich também. As ideias com origem na teoria ergódica de sistemas dinâmicos foram utilizadas para resolver problemas de teoria dos números e grupos de Lie também. Estes problemas aparecem quando consideramos ações de grupos de Lie nos espaços homogêneos. Métodos ergódicos foram utilizados para estudar fluxos geodésicos e horocíclicos no fibrado unitário de superfícies com curvatura negativa e a demonstração de Margulis para conjectura de Oppenheim é fundamentalmente baseada em teoria ergódica e sistemas dinâmicos. O projeto é dividido em seguintes subprojetos com aspectos algébrico e probabilístico. Resultados esperados deverão ter impacto positivo no desenvolvimento da área de sistemas dinâmicos: A. Propriedades ergódicas de sistemas dinâmicos preservando alguma probabilidade "natural": 1. Estados de equilíbrio (em particular medidas de máxima entropia, medidas de Margulis); 2. Estabilidade Ergódica para difeomorfismos conservativos; 3. Estados de equilíbrios para ações de grupos; 4. Transformações expansoras por pedaços de baixa regularidade; B. Comparação de sistemas dinâmicos clássicos parcialmente hiperbólicos e passeios aleatórios: Princípio de invariança (introduzido por Avila-Viana generalizando trabalhos de Furstenberg, Ledrappier e outros); C. Teoria de renormalização e Universalidade em sistemas dinâmicos unidimensionais; D. Deformações de sistemas dinâmicos unidimensionais E. Sistemas dinâmicos definidos pelas ações de grupos: Sistemas e subsistemas de Anosov e suas representações em SL(N,R) (AU)