Leis de conservação, leis de equilíbrio e EDPs relacionadas com fluxos descontínuos e não-locais em ciências aplicadas: análise numérica, teoria e aplicações

Resumo

Os fluxos composicionais e reativos, as interações de bistabilidade e relaxação, e os efeitos não-locais, juntamente com a modelagem aleatória contínua/discreta em ciências aplicadas, são de suma importância em modelos matemáticos envolvendo leis de conservação, leis de equilíbrio e equações diferenciais parciais (EDPs) relacionadas não convencionais e vice-versa. O comportamento de todos os fenômenos físicos, com dinâmicas para uma ampla gama de escalas espaço-tempo - processos de transporte que abrangem escalas de tempo de picossegundos a milênios e dimensões espaciais de angstroms a quilômetros ou escala astronômica - pode ser modelado por tais modelos matemáticos diferenciais. Tais objetos são uma ferramenta essencial na modelagem, análise e previsão de numerosos sistemas físicos, biológicos, químicos e econômicos nos quais a matemática aplicada desempenha um papel importante. Seu tema unificador é a teoria das soluções para modelos diferenciais não lineares ligados à teoria da aproximação para análise numérica, complementada por simulações numéricas representativas, precisas, rápidas e eficientes. Em cada tópico deste projeto de pesquisa, serão apresentados problemas não lineares envolvendo diversas equações diferenciais de tipo misto e serão inventadas as técnicas matemáticas e numéricas correspondentes para sua solução. Como resultado, novas percepções matemáticas e físicas serão obtidas investigando importantes dinâmicas não lineares de modelos diferenciais, técnicas não lineares efetivas serão desenvolvidas e os conceitos matemáticos corretos nos quais se levantarão para esses problemas serão perseguidos. Por exemplo, as EDPs não lineares possuem soluções que exibem singularidades, oscilações e / ou efeitos de concentração, que no mundo real se refletem no aparecimento de ondas de choque, turbulência, defeitos de material, etc. Isso imediatamente coloca questões muito fundamentais como o que é a natureza e o efeito de ruídos/pertubações nas singularidades e se tais soluções podem ser continuadas (em algum sentido) após a formação da singularidade e também o comportamento de tais soluções no tempo tardio de relaxação ? Perguntas como estas estão intimamente ligadas a várias questões centrais, como compreender o que realmente queremos dizer com uma noção de solução matemática, mas que tenha um significado. Assim, o desenvolvimento de teorias sobre existência, singularidade e estabilidade de soluções está vinculado à construção de algoritmos numéricos e, portanto, no núcleo da matemática aplicada. Nas últimas décadas, foram dadas respostas satisfatórias para várias questões associadas a essas classes de equações diferenciais diferenciais não lineares e clássicas. No entanto, a situação é dramaticamente diferente para leis de conservação, leis de equilíbrio e EDPs relacionadas com fluxos descontínuos e não-locais, sujeitos a relaxação ligados ao comportamento tardio. Um objetivo geral do projeto é desenvolver conceitos e técnicas para a análise de fenômenos modelados por equações diferenciais não lineares, exibindo soluções com baixa regularidade (por exemplo, ondas de choque). Essa pesquisa envolverá vários ramos da matemática, incluindo equações diferenciais parciais, análise funcional e aspectos numéricos e de simulações computacionais, utilizando uma gama de técnicas como a entropia e a análise de viscosidade evanescente, estimativas a priori e, possivelmente, novos conceitos de soluções, como aproximações assintóticas fracas. Além disso, uma vez que a concepção de esquemas numéricos eficientes depende da compreensão da estrutura e padrão matemáticos subjacentes, temos uma abordagem unificada envolvendo análise numérica, teoria e aplicações ligadas a questões de matemática aplicada. (AU)