Geometria de variedades no espaço euclidiano e no espaço de Minkowski

Resumo

O espaço de Minkowski R_1^n é o espaço vetorial R^n dotado com o produto pseudo-escalar u.v =-u_1v_1+...+u_nv_n, para qualquer $u=(u_1,...,u_n)$ e $v =(v_1,..., v_n)$ em R_1^n.Dizemos que um vetor não nulo u em R^n_1 é spacelike seu.u>0, lightlike se u.u=0 e timelike se u.u<0. Estes espaços são utilizados pela Física, por exemplo, em teoria de relatividade, $\mathbb{R}_1^{4}$ é um modelo para espaço e tempo. A métrica induzida deste produto escalar é um exemplo de métrica Lorentziana e é chamada de métrica de Minkowski.Vários estudos têm sido feitos nestes espaços e interessantes resultados têm sido provados. De certa maneira, a geometria Lorentziana complementa a geometria Riemanniana. Problemas desafiadores aparecem quando a métrica induzida sobre uma subvariedade no espaço de Minkowski muda de assinatura. É interessante, por exemplo, estudar o que acontece em pontos onde a métrica é degenerada e explicar as mudanças na geometria, digamos, da região Riemanniana para a região Lorentziana da subvariedade. Nosso projeto envolve o estudo de subvariedades no espaço de Minkowski e no espaço Euclidiano. Queremos atuar em três linhas de pesquisa no espaço de Minkowski. Em todas as linhas, usaremos a teoria de singularidades para obter informações geométricas sobre as variedades envolvidas. Nosso objetivo em uma delas é estudar, junto com o professor Shyuchi Izumiya da Universidade de Hokkaido e com Andrea de Jesus Sacramento, curvas sobre hipersuperfícies do tipo espaço e do tipo tempo no espaço de Minkowski $\mathbb{R}_1^{4}$. Na segunda linha de pequisa, junto com a professora Maria Aparecida Soares Ruas (ICMC) e Masaki Kasedo do Akita National College of Technology do Japão, estudamos superfícies spacelike no espaço de Sitter $S^5_1$ através de invariantes relacionados com a segunda forma fundamental, incluindo a elipse de curvatura, direções binormais e assintóticas que encontramos em Second order geometry of spacelike surfaces in de Sitter 5-space, Publ. Mat. 59 (2015). Queremos neste novo trabalho estudar as linhas assintóticas e os pontos singulares que podem aparecer. Na terceira linha de pesquisa, junto com Farid Tari (ICMC) e Federico Sanches-Bringas da Universidade Nacional Autônoma do México, vamos estudar superfícies no espaço de Minkowski $\mathbb{R}_1^4$ especialmente onde a métrica é degenerada. Em uma outra linha de pesquisa no espaço Euclidiano, estudaremos a geometria de hipersuperfícies em $\mathbb{R}^4, $ também usando a teoria de singularidades. Nosso objetivo é estudar as singularidades da aplicação de Gauss de famílias de hipersuperfícies em $\mathbb{R}^4$. Este estudo será feito com Maria Carolina Zanardo (minha aluna de doutorado do ICMC) e Maria del Carmen Romero-Fuster da Universidade de Valência. Além disso, com M.C. Romero-Fuster pretendemos estudar singularidades Lagrangianas e com Masaki Kasedo e Maria Aparecida Soares Ruas pretendemos iniciar um trabalho sobre índice de campos de vetores em $\mathbb{R}^3$. (AU) O espaço de Minkowski R_1^n é o espaço vetorial R^n dotado com o produto pseudo-escalar u.v =-u_1v_1+...+u_nv_n, para qualquer $u=(u_1,...,u_n)$ e $v =(v_1,..., v_n)$ em R_1^n.Dizemos que um vetor não nulo u em R^n_1 é spacelike seu.u>0, lightlike se u.u=0 e timelike se u.u<0. Estes espaços são utilizados pela Física, por exemplo, em teoria de relatividade, $\mathbb{R}_1^{4}$ é um modelo para espaço e tempo. A métrica induzida deste produto escalar é um exemplo de métrica Lorentziana e é chamada de métrica de Minkowski.Vários estudos têm sido feitos nestes espaços e interessantes resultados têm sido provados. De certa maneira, a geometria Lorentziana complementa a geometria Riemanniana. Problemas desafiadores aparecem quando a métrica induzida sobre uma subvariedade no espaço de Minkowski muda de assinatura. É interessante, por exemplo, estudar o que acontece em pontos onde a métrica é degenerada e explicar as mudanças na geometria, digamos, da região Riemanniana para a região Lorentziana da subvariedade. Nosso projeto envolve o estudo de subvariedades no espaço de Minkowski e no espaço Euclidiano. Queremos atuar em três linhas de pesquisa no espaço de Minkowski. Em todas as linhas, usaremos a teoria de singularidades para obter informações geométricas sobre as variedades envolvidas. Nosso objetivo em uma delas é estudar, junto com o professor Shyuchi Izumiya da Universidade de Hokkaido e com Andrea de Jesus Sacramento, curvas sobre hipersuperfícies do tipo espaço e do tipo tempo no espaço de Minkowski $\mathbb{R}_1^{4}$. Na segunda linha de pequisa, junto com a professora Maria Aparecida Soares Ruas (ICMC) e Masaki Kasedo do Akita National College of Technology do Japão, estudamos superfícies spacelike no espaço de Sitter $S^5_1$ através de invariantes relacionados com a segunda forma fundamental, incluindo a elipse de curvatura, direções binormais e assintóticas que encontramos em Second order geometry of spacelike surfaces in de Sitter 5-space, Publ. Mat. 59 (2015). Queremos neste novo trabalho estudar as linhas assintóticas e os pontos singulares que podem aparecer. Na terceira linha de pesquisa, junto com Farid Tari (ICMC) e Federico Sanches-Bringas da Universidade Nacional Autônoma do México, vamos estudar superfícies no espaço de Minkowski $\mathbb{R}_1^4$ especialmente onde a métrica é degenerada. Em uma outra linha de pesquisa no espaço Euclidiano, estudaremos a geometria de hipersuperfícies em $\mathbb{R}^4, $ também usando a teoria de singularidades. Nosso objetivo é estudar as singularidades da aplicação de Gauss de famílias de hipersuperfícies em $\mathbb{R}^4$. Este estudo será feito com Maria Carolina Zanardo (minha aluna de doutorado do ICMC) e Maria del Carmen Romero-Fuster da Universidade de Valência. Além disso, com M.C. Romero-Fuster pretendemos estudar singularidades Lagrangianas e com Masaki Kasedo e Maria Aparecida Soares Ruas pretendemos iniciar um trabalho sobre índice de campos de vetores em $\mathbb{R}^3$. (AU)