Estatísticas para eventos extremos e dinâmica de recorrência

Resumo

Em termos gerais, o objetivo deste projeto é estudar propriedades estatísticas de sistemas dinâmicos, tanto determinísticos como estocásticos (perturbados), com ênfase especial sobre as leis de acontecimentos raros.O ponto de partida da análise é um processo estocástico. O sistema dinâmico pode aparecer de diferentes formas. Pode descrever a evolução temporal simplesmente movendo o processo de um estado para o que o sucede, atuando, dessa forma, no espaço de todas as realizações do processo. Ou pode ser um modelo para um fenómeno natural, o qual é descrito por um certo número de grandezas (possivelmente infinito), tais como a posição, velocidade, aceleração, que caracterizam o estado do sistema num determinado momento. Nestes casos, o sistema dá origem a processos estocásticos que correspondem à avaliação de um determinado observável, como a energia, por exemplo, ao longo das órbitas do sistema, ou seja, as sequências de estados pelos quais o sistema atravessa a partir de uma condição inicial.Estamos particularmente interessados em sistemas caóticos, que provocam alguma perda de memória nos processos estocásticos. Entre as propriedades estatísticas dos sistemas, estamos interessados no estudo de acontecimentos raros. Estes, muitas vezes, correspondem a grandes desvios do comportamento médio, que estão relacionados com ocorrências adversas e, por isso, são de enorme interesse prático.O efeito de recorrência introduzido por Poincaré é o ponto de partida para uma análise mais profunda dos tempos de espera até à entrada das órbitas em certas regiões do espaço de fase onde estas consequências indesejadas, e raras, estão destinadas a ocorrer. Por estas razões, tornou-se importante obter a distribuição limite do tempo de espera até à ocorrência de um acontecimento raro, que é normalmente referido como Estatísticas do Tempo de Entrada (HTS) e Estatísticas do Tempo de Retorno (RTS).Em Estatística, existe um ramo bem estabelecido, chamado Teoria de Valores Extremos (EVT), que está associado ao estudo de acontecimentos extremos que correspondem a observações muito altas (ou muito baixas), excedendo limites que as tornam indesejáveis. Apesar de sua relevância na caracterização de distribuições limite de processos estocásticos, a EVT só foi usada como ferramenta estatística em sistemas dinâmicos recentemente. A primeira contribuição notável, devida a Pierre Collet, data de 2001. Resultados recentes de membros da equipa estabelecem uma ligação entre HTS / RTS e EVT para sistemas dinâmicos. Isto significa que HTS / RTS e EVL são apenas dois lados da mesma moeda. Isto trouxe uma nova luz ao assunto e novas técnicas para desenvolver o estudo de acontecimentos raros.Do ponto de vista ergódico, há também um interesse particular em provar teoremas de convergência que podem fornecer estimativas para a entropia de Shannon. O Teorema de Ornstein-Weiss estabelece uma ligação entre HTS / RTS e entropia, enquanto que Wyner-Ziv mostraram uma dualidade entre este tempo de primeiro retorno e uma função de correspondência.Resultados recentes mostram várias ligações entre o primeiro retorno possível de uma determinada sequência e a função de correspondência, bem como entre este primeiro retorno possível e o fenómeno de clustering que aparece em HTS / RTS e EVT. Há aqui uma ampla gama de temas que pretendemos estudar.A equipa em S. Paulo inclui especialistas mundiais no assunto e responsáveis pelo desenvolvimento inicial da teoria de HTS / RTS. A equipa no Porto, inclui especialistas em EVT para sistemas dinâmicos, mas também em outras propriedades estatísticas como decaimento de correlações e grandes desvios. Acreditamos que a experiência combinada dos membros de ambas as equipas vai dar origem a um grande desenvolvimento no tema. Por isso, temos como objectivo: alcançar uma profunda compreensão da teoria de acontecimentos raros em sistemas dinâmicos e a sua ligação com outras propriedades estatísticas de tais sistemas. (AU)