Resolubilidade global para complexos diferenciais e recíproca para o teorema de existência de função de Lyapunov não autônoma para processos de evolução de tipo gradiente

Resumo

Este projeto contém, basicamente, três objetivos, dois dos quais justificam seu título. Um deles está voltado a teoria das EDP´s lineares e o outro relacionado ao estudo das propriedades dinâmicas de um processo de evolução que permitem que uma função de Lyapunov, não autônoma, seja definida para ele. Além disso, pretendemos investigar as ligações que possam existir entre determinados aspectos destas duas teorias descritas acima, como, por exemplo, usar técnicas provenientes da teoria das equações de evolução no estudo de uma classe de complexos diferencias. No primeiro caso, uma das metas é continuar o estudo da teoria pertinente ao problema que consiste em estudar a resolubilidade global, em grau máximo, e a hipoeliticidade global, em grau mínimo, para um complexo diferencial definido por um operador do tipoL:=dt - w(t,A)A,sendo A : D(A) ‚c H --’ H um operador linear auto-adjunto positivo definido com inversa contínua em um espaço de Hilbert H, w uma série de potências negativas de A com coeficientes no espaço das 1-formas diferenciais suaves fechadas sobre uma variedade compacta M de dimensa o m e dt a diferencial exterior em M. Pretendemos também considerar, possivelmente, escalas de espaços de potência fracionária mais gerais do que os provenientes dos espaços de Hilbert. No segundo caso, pretendemos estudar a possibilidade de haver uma recíproca para um dos resultados que obtivemos em minha tese de doutorado, segundo o qual, sob condições bastante razoáveis, um processo de evolução de tipo gradiente possui uma função de Lyapunov em sentido não autônomo. Além disso, queremos examinar os efeitos que podem ser causados pela não finitude dos conjuntos de invariantes isolados, quando tentamos construir uma função de Lyapunov para um semigrupo (ou um processo) de tipo gradiente. (AU)