Equações diferenciais com derivadas fracionárias e suas aplicações

Resumo

Os modelos matemáticos de fenômenos físicos, biológicos e atmosféricos formam uma ponte entre o mundo real e as ciências teóricas. Tais modelos são de grande interesse para cientistas aplicados e também para os matemáticos puros. Modelos de grande importante são aqueles descritos por meio de equações diferenciais parciais (PDE) e suas generalizações contendo derivadas fracionárias. Pretendemos estudar os seguintes temas: * As equações diferenciais parciais com derivadas de ordem fracionária, * comportamento assintótico de equações com derivadas fracionárias. Uma especialidade onde as equações com derivadas de ordem fracionárias aparecem naturalmente é a análise estocástica, se o processo ``dirigido'' tem saltos (processos de Levy), então a correspondente Equação de Fokker-Planck irá conter um Laplaciano fracionário. Recentemente, no estudo de mecânica de fluidos, finanças, biologia molecular e em muitos outros campos, foi descoberto que a influência de fatores aleatórios pode trazer muitos aspectos interessantes para o modelo e, além disso, são mais realistas do que a abordagem determinística sozinha. Assim, é natural incluir termos estocásticos e, consequentemente, operadores de ordem fracionária na construção de modelos matemáticos para tais fenômenos. Os fenômenos que requerem tais derivadas fracionárias em sua modelagem tornam-se mais complexos e as técnicas desenvolvidas para modelos clássicos dificilmente poderiam ser aplicadas diretamente a eles. Assim novas ideias e teorias são necessárias. Comparando-se com a teoria das equações diferenciais parciais usuais, podemos dizer que as EDPs de ordem fracionária estão apenas em sua fase inicial de desenvolvimento. Os primeiros resultados sistemáticos sobre EDPs de ordem fracionária completamente não-lineares são de L. Caffarelli, L. Silvestre em [C-S]. Além disso, na mecânica de fluidos, verificou-se em [C], que a solução da equação Quasi-Geostrófica (equação QG) crítica em 2D (de ordem 1/2) assemelha-se à evolução da vorticidade na equação de Euler tridimensional cuja regularidade global foi resolvida recentemente por A. Kiselev et al. [K] e L. Caffarelli, A. Vasseur em [K-V]. Ocaso supercrítico (a ordem é menor que 1/2) permanece aberto. Uma das principais tarefas nos estudos de equações de evolução da física matemática é investigar o comportamento de suas soluções para tempos grandes ou tendendo a infinito. No entanto, em geral, para a maioria das EDPs não-lineares (especialmente os PDEs decorrentes física e fenômenos atmosféricos), não podemos obter suas soluções de forma explícita. Embora possamos obter algumas informações através de métodos numéricos, tais métodos não podem dar aproximações confiáveis para tempos grandes. Assim, seria importante obter informações sem resolver as equações diferenciais parciais, como por exemplo, para modelos envolvendo a previsão do tempo. A teoria de sistemas dinâmicos tem sido utilizada com sucesso durante algumas décadas para analisar propriedades qualitativas de muitos modelos. Normalmente, o conceito de um atrator desempenha um papel crucial em tais considerações, uma vez que ao concentrar a nossa atenção nos atratores, uma simplificação significativa pode ser alcançada. Por isso, é importante estudar possíveis atratores e suas propriedades. Há muitos matemáticos famosos que trabalham nesta área, como M. Vishik, R. Temam, C. Foias, P. Constantin, J. M. Ball, entre outros. No entanto, devido à complexidade das EDPs, a compreensão atual das propriedades geométricas das atratores ainda é muito limitada. Especialmente, quase não há literatura sobre atratores para EDPs de ordem fracionária. Nossa pesquisa irá concentrar-se no estudo da boa colocação local, global e no comportamento assintótico para tais modelos com derivadas de ordem fracionária. (AU)