Geometria no espaço de Minkowski

Resumo

O espaço de Minkowski R_1^n é oespaço vetorial R^n dotado com o produto pseudo-escalar =-u_1v_1+...+u_nv_n, para qualquer u=(u_1,...,u_n) e v =(v_1,..., v_n) emR_1^n. Dizemos que um vetor não nulo u em R_1^n é spacelike se 0, lightlike se =0 e timelike se <0. Estes espaços são utilizados pela Física, por exemplo, em teoria de relatividade, R_1^4 é um modelo para espaço e tempo. A métrica induzida deste produto escalar é um exemplo de métrica Lorentziana e é chamada de métrica de Minkowski.Vários estudos têm sido feitos nestes espaços e interessantes resultados têm sido provados. De certa maneira, a geometria Lorentziana complementa a geometria Riemanniana. Problemas desafiadores aparecem quando a métrica induzida sobre uma subvariedade no espaço de Minkowski muda de signatura. É interessante, por exemplo, estudar o que acontece em pontos onde a métrica é degenerada e explicar as mudanças na geometria, digamos, da região Riemanniana para a região Lorentziana da subvariedade.Este projeto contém três linhas de pesquisa. Nosso objetivo em uma delas é estudar curvas no espaço de Minkowski $\mathbb{R}_1^{3}$, especialmente explorar o que acontece no conjunto de pontos onde a métrica é degenerada. Na segunda linha de pequisa pretendemos estudar superfícies spacelike no de Sitter espaço $S^5_1$ através de invariantes relacionados com a segunda forma fundamental, incluindo a elipse de curvatura, direções binormais e assintóticas. Na terceira linha de pesquisa vamos estudar superfícies no espaço de Minkowski $\mathbb{R}_1^4$ especialmente onde a métrica é degenerada. (AU)