Boa-colocação de problema de Cauchy e teoria de estabilidade para equações dispersivas não lineares

Resumo

Pretendemos, neste projeto, estudar equações diferenciais parciais de evolução, não-lineares e com caráter dispersivo. Este tem sido um tema de investigação bastante ativo na área de análise matemática, em particular nas últimas duas décadas, tendo vários dos resultados mais importantes, assim como técnicas usadas, sido desenvolvidos por alguns dos matemáticos mais notáveis da atualidade, como Jean Bourgain, Carlos Kenig, Gustavo Ponce, Luis Vega, ou Terence Tao, entre outros ([1]-[12]).Para dados iniciais suficientemente regulares, as questões de boa colocação local para o problema de Cauchy são normalmente estudadas com recurso à combinação de métodos de energia, princípio de contração, estimativas do tipo Strichartz e maximais, e efeitos regularizantes ([7]). Mas quando se consideram dados iniciais com muito pouca regularidade, estes métodos podem não ser suficientes. Os espaços de Bourgain, recentemente introduzidos em [2], têm-se mostrado eficazes para abordar esta questão porque, apesar dos métodos associados serem extremamente técnicos, têm proporcionado resultados ótimos em várias situações [5].Para abordar a existência global de soluções, normalmente procuram-se leis de conservação associadas às equações, as quais servem de estimativas a priori em certos espaços de funções, permitindo iterar sucessivamente soluções locais no tempo de modo a estendê-las a uma solução global. Muitas vezes, no entanto, há discrepância entre os espaços associados às leis de conservação, e aqueles para os quais se conhece a existência local de soluções, o que impossibilita a aplicação desta ideia. Recentemente, no entanto, foi introduzido em [4, 5] um novo método (I-method) que usa um controlo de quantidades quase conservadas para, duma forma mais geral, obter soluções globais em espaços de funções de regularidade inferior à da aplicabilidade das leis de conservação existentes. Apesar da vasta investigação desenvolvida recentemente nesta área, as questões de boa colocação - quer local, quer global - permanecem em aberto para a maioria dos modelos, especialmente nos casos de fraca regularidade dos dados iniciais. A ideia deste projeto é estudar este tipo de questões para alguns casos que se enquadram nesta classe de equações de evolução com caráter dispersivo. Mais concretamente, tencionamos focar a nossa investigação nas equações de Korteweg - de Vries modificada (mKdV), Zakharov-Kusnetsov (ZK) e Benjamin-Bona-Mahony (BBM) da quinta ordem bem como nos sistemas de tipo Boussinesq, Schrödinger-Debye (SD) e Davey-Stewartson (DS). Para além de questões de existência, queremos também investigar a formação de singularidades para as soluções destas equações. O trabalho desenvolvido nos últimos anos por Frank Merle e os seus colaboradores (veja [10, 11]) tem resolvido antigas questões em aberto sobre a existência de soluções H^1 que explodem para as equações L^2 críticas de Schrödinger e KdV. Os métodos até agora usados estão intimamente ligados à questão de estabilidade de ondas solitárias para estas equações. Estamos interessados em explorar a possibilidade de adaptar estes métodos ao sistema de Schrödinger-Debye e Davey-Stewartson entre outros.O outro assunto de nosso interesse e estudar comportamento assintótico das soluções assim como propriedade de continuação única (UCP) o qual seria continuidade do estudo feito durante o doutorado, pos-doutorado e recentemente como pesquisador. Alguns dos nosso resultados nesta direção podem ser encontrados em [3, 12]. (AU)