Resolubilidade Semi-global de Campos Vetoriais Complexos Planares

Resumo

Seja $X$ uma variedade suave e $P(x,D)$ um operador diferencial parcial linear de ordem $m$, com coeficientes suaves em $X$. Seja $K$ umsubconjunto compacto de $X$.Dizemos que um operador $P(x,D)$ éresolúvel em $K$ se para qualquer $f$ pertencente a umsubespaço de co-dimensão finita de $C^{\infty}(X)$ existe $u\in\mathcal{D}'(X)$ solução da equação $P(x,D)u=f$numa vizinhança de $K$.A bem-conhecida condição ($\mathcal P$) de \textit{Nirenberg-Treves} comparece de maneira fundamental nacaracterização da resolubilidade em $K$ de $P(x,D)$. Se $P(x,D)$ é resolúvel em $K$ entãonecessariamente a condição ($\mathcal P$) deve ser satisfeita numavizi\-nhança aberta de $K$. Além disso, se(CG) - Qualquer ponto característico de $P(x,D)$ sobre $K$está sobre um intervalo compacto de uma curva bi-característica de$\Re(qp)$, sobre a qual $q\neq 0$, com pontos finais nãocaracterísticos sobre $K$ -então a condição ($\mathcal P$) implica resolubilidade de $P(x,D)$em $K$ num sentido mais forte; soluções podem ser obtidas em$C^{\infty}(X)$.Hörmander denomina os operadores $P(x,D)$ que satisfazem a condição ($\mathcal P$) e acondição geométrica (CG) como \emph{de tipo principal}.O que dizer, então, da resolubilidade semi-global de operadores que não são de tipo principal?Com o objetivo de esclarecer a questão acima, este projeto de pesquisa se concentra em operadores diferenciais parciais lineares de ordem 1. Resolubilidade analítica e resolubilidade Gevrey também serão abordadas. (AU)