Estudo de equações diferenciais parciais algébricas com dominância hiperbólica-parabólica com relaxamento: aspectos teóricos, numéricos e aplicações

Resumo

Equações diferenciais parciais (PDEs) e equações algébricas (DAEs) surgem em vários modelos matemáticos em ciências e engenharia. Nos últimos anos, tem havido um interesse crescente no estudo de sistemas acoplados de PDEs e DAEs em uma ampla gama de aplicações, por exemplo, em análise de sensibilidade, controle de processos químicos, estimativa de parâmetros, assimilação de dados, controle de PDEs, análise de incertezas, fluxo em meios porosos, design experimental, materiais e design, modelagem de redes elétricas, biologia, apenas para citar alguns tópicos dos eventos atuais. Neste projeto, estamos interessados em estudar sistemas altamente não lineares de problemas acoplados relacionados a PDEs e DAEs. Nosso interesse concentra-se particularmente no estudo de EDPs e DAEs com termos de relaxamento de dominância hiperbólica-parabólica. Esse conjunto de equações é usado para descrever com precisão modelos que exibem física muito complexa, por exemplo, em problemas com fluxos térmicos ou químicos (geoquímicos). Esses fluxos são modelados usando leis termodinâmicas rigorosas e fundamentais e, como existem reações químicas, as leis químicas também são importantes. Leis físicas e químicas dão origem a equações algébricas. Estados que satisfazem equações algébricas geram uma superfície chamada superfície de equilíbrio. Para muitos modelos não lineares é impossível obter um conjunto de variáveis para parametrizar ou simplificar essa superfície de equilíbrio e precisamos resolver o sistema completo de equações formadas, ou seja, precisamos resolver o sistema completo de PDEs e DAEs sujeitas a pertinentes condições de contorno e/ou iniciais, ou simplesmente PDAEs. Além disso, estamos interessados em conectar a teoria de PDAEs (em pleno progresso) com a teoria das equações de relaxamento adicionando termos de fonte nas PDAEs suportadas em base sólida matemática e nas leis termodinâmicas fundamentais. Os sistemas de equações de relaxamento são muito importantes porque fornecem uma maneira natural de obter soluções físicas a partir de soluções fracas, sem a necessidade de definir critérios adicionais de entropia. Pretendemos obter resultados analíticos e novos métodos numéricos de discretização com balanceamento para essa classe muito grande de PDAEs com dominância hiperbólica-parabólica e aplicar teoria e aproximações numéricas para resolver problemas térmicos e químicos complexos para sistemas de transporte multifásicos, bem como modelar mudanças de fase em problemas com transição de fase com relaxamento. (AU)